級數(shù)求和法在化學(xué)解題中的應(yīng)用

 　　級數(shù)求和法在化學(xué)解題中的應(yīng)用

　　來源： 作者： 加入時間：2008-2-28 17:17:47　閱讀次數(shù)：48

　　數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)理論課對于多數(shù)學(xué)生來說是較為重視的，然而作為一種研究問題的工具，許多學(xué)生并未真正感受到它的實(shí)用價值，往往低估了數(shù)學(xué)方法對于學(xué)習(xí)化學(xué)知識及其解決化學(xué)問題的重要作用，或不會靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)這一工具去理解、解決化學(xué)問題。其實(shí)，許多化學(xué)理論、規(guī)律、計算等若能靈活而有效地借助數(shù)學(xué)方法去剖析、推演，往往會有意外的收獲。本文就“級數(shù)求和”在化學(xué)中的應(yīng)用問題略作闡述，供參考。

　　算術(shù)級數(shù)、幾何級數(shù)的求和是兩種基本的級數(shù)求和問題，它們在化學(xué)中對于某些規(guī)律和結(jié)論的推導(dǎo)及計算題的求解具有極妙的用途，例舉如下：

　　一、算術(shù)級數(shù)的應(yīng)用

　　原子結(jié)構(gòu)理論中的一條重要結(jié)論：最大容量原理——原子核外第 n主能級層中最多容納的電子數(shù)不超過“2n2”。該結(jié)論的推導(dǎo)法有多種，然而，算術(shù)級數(shù)求和法在此結(jié)論的推導(dǎo)上具有獨(dú)到之處，導(dǎo)法如下：

　　令 n為主能級層的層序數(shù)

　　∵第 n主能級層內(nèi)的電子亞層總數(shù)等于該主能級層的層序數(shù)

　　且 各電子亞層內(nèi)的原子軌道數(shù)=2×亞層序數(shù)-1

　　∴第n主能級層內(nèi)具有的原子軌道數(shù)等于各亞層軌道數(shù)之和：

　　1+3+5+7+…+(2n-1)+…

　　又∵每個原子軌道內(nèi)最多可容納兩個自旋相反的電子

　　∴第 n主能級層內(nèi)最多可容納的電子數(shù)等于各電子亞層內(nèi)可容納的電子數(shù)之和，即有：

　　2+6+10+14+…+2(2n-1)+…

　　顯然，上式為一算術(shù)級數(shù)

　　且： 首項(xiàng) a1=2 公差 d=4 通項(xiàng) a n=4n-2

　　故前n項(xiàng)之和為：

　　即：第 n主能級層內(nèi)最多容納的電子數(shù)為“2n2”。 (推導(dǎo)畢)

　　可見，最大容量原理的上述導(dǎo)出，使其建立在嚴(yán)密的數(shù)理基礎(chǔ)上，對原子核外電子排布規(guī)律的理解和掌握無疑具有積極的作用。

　　二、幾何級數(shù)的應(yīng)用

　　例題 將NO2氣和O2氣以2∶1的體積比混和充滿一支試管中，然后倒立于水里。待充分反應(yīng)后，試管中仍有部分氣體存在。問該剩余氣體是何物?試管中剩余氣體占試管容積的百分之幾?

　　解法分析：

　　NO2、O2、水三者共存時有反應(yīng)：

　　3NO2 + H2O === 2HNO3 + NO

　　2NO + O 2 === 2NO2

　　可知，混和氣體在與水充分接觸時，其中NO2被水吸收的同時又產(chǎn)生NO，NO又會很快與O2化合成NO2，NO2又會繼續(xù)與水作用……。顯然，以上兩步反應(yīng)發(fā)生循環(huán)過程，每完成一輪循環(huán)周期便消耗部分混和氣體。循環(huán)若干周期后，則各周期消耗氣體(NO2或O2)的量便構(gòu)成一數(shù)列。當(dāng)O2過量時，反應(yīng)周而復(fù)始，直至無窮，NO2 剩余量的極限為“0”，則氣體消耗量所構(gòu)成的數(shù)列形成一個無窮遞減數(shù)列(即所得數(shù)列收斂)，而消耗氣體的總量則為該數(shù)列

　　解：令試管的容積為V，則試管中NO2和O2氣的量分別為(2/3)V、(1/3)V。

　　據(jù)反應(yīng)方程式可知，體系中各物質(zhì)間量的關(guān)系及每輪循環(huán)中各物質(zhì)體積的變化為：

　　由以上若干循環(huán)周期中各物質(zhì)體積的改變所構(gòu)成的數(shù)列可得：

　　消耗O2氣的總量為：

　　消耗NO2氣的總量為(實(shí)際消耗量等于起始消耗量與周尾生成量之差)：

　　顯然，式(1)和式(2)均為幾何級數(shù)，且

　　由于：

　　即任一輪循環(huán)反應(yīng)周期中，消耗O2氣和NO2氣的體積之比為1∶4，而反應(yīng)起始狀態(tài)時，有：

　　顯然原混合氣體中O2過量，反應(yīng)呈無限循環(huán)，且式(1)和式(2)均為無窮遞減幾何級數(shù)。故有：

　　消耗O2氣的總量為：

　　消耗NO2氣的總量為：

　　則剩余氣體(O2)占試管容積的百分比為：

　　答：充分反應(yīng)后試管中剩余O2氣，且占試管容積的16.7%。

　　此外，上述解法中消耗O2氣(或NO2)的總量也可用下法計算，即先求其前n項(xiàng)和，再求其極限。

　　級數(shù)式(1)的前n項(xiàng)和為：

　　由于式(1)為無窮遞減級數(shù)，且級數(shù)具有收斂性(q<1)，故：

　　顯然其計算結(jié)果與上述解法一致。

　　三、算術(shù)·幾何級數(shù)的應(yīng)用

　　例題 比色分析中配制得硫酸銅標(biāo)準(zhǔn)系列溶液的濃度(單位mol/L)依次為： 0.3，0.5，0.7，0.9，……。若將其依次按1∶2∶4∶8∶……∶2n-1的體積比使前六種標(biāo)準(zhǔn)液混和，求混和溶液的濃度。

　　解：令溶液的單位體積為V，則混和前各標(biāo)準(zhǔn)液的體積分別為：

　　V，2V，4V，8V，…，2n-1V，…

　　混和前各標(biāo)準(zhǔn)液中溶質(zhì)的物質(zhì)的量依次為：

　　0.3×V，0.5×2V，0.7×4V，0.9×8V，…，[0.3+(n-1)×0.2]×2n-1V，…，

　　據(jù)溶液混和的濃度求解法則：

　　有：

　　因V為一常數(shù)，故得：

　　顯然，上式左邊為“a=0.3，d=0.2，q=2”的“算術(shù)·幾何級數(shù)”;而式右邊為“a1=1，q=2”的“幾何級數(shù)”。

　　據(jù)“算術(shù)·幾何級數(shù)”的前n項(xiàng)和公式，有：

　　據(jù)“幾何級數(shù)”的前n項(xiàng)和公式，有：

　　即有： 63C混=70.5

　　解得： C混=1.12 (mol/L)

　　答：混和溶液的濃度為1.12 mol/L。

　　綜上級數(shù)在化學(xué)解題中的應(yīng)用實(shí)例可見，數(shù)學(xué)方法的靈活運(yùn)用為人們開辟了諸多的解題途徑，雖然有些解法思路可能會使解法途徑變得較復(fù)雜些，但作為一種數(shù)學(xué)方法，可培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具分析、解決化學(xué)問題的能力，擴(kuò)充解題思路和開發(fā)智力無疑有其益處。